Геометрия для абитуриента
1.В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Через точку M, лежащую на стороне BC, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую AC в точке K. Найти AK, если AC = a, AB = 6a/5, MB = a/10.
2. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, угол BAC равен 90 градусов, угол SBA равен 30 градусов, угол ASB равен 45 градусов.
3. Дан прямоугольный параллелепипед. Диагональ прямоугольного
параллелепипеда составляет углы с диагоналями основания 45 и 60 градусов.
Расстояние между диагональю параллелепипеда и не пересекающей её диагональю
основания равно 1. Найти площадь сферы, описанной вокруг параллелепипеда.
4. Тест.,1996,10,10) В пирамиде SABC периметр грани ASB равен 20, периметр
грани ACB равен 12, отношение площади треугольника ASB к площади треугольника
ACB равно квадратному корню из 5 и AS = SB. Известно, что перпендикуляры к
граням, восстановленные из центров вписанных в них окружностей, пересекаются
в одной точке. Найти все ребра пирамиды.
5. В треугольнике ABC длина биссектрисы AL равна l, в треугольник ABL вписана
окружность, касающаяся стороны AB в точке K, BK = b. На сторонах AB и BC в
треугольнике ABC выбраны точки M и N, соответственно, так, что прямая MN проходит
через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, причем MB + BN = c. Найти
отношение площади треугольника ABL к площади треугольника MBN.
6. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку
B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает
первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и
Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найти отношение площадей треугольников
MNO и PQO, O - точка пересечения прямых MP и NQ.
7. В угол с вершиной A величиной в 60 градусов вписана окружность с центром в точке O. К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C. Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AM : MO = 2 : 3 и BC = 7.
Далее смотри по ссылке:
http://matematika.agava.ru
